ডিরাক সমীকরণ: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

 

যেহেতু ডিরাক সমীকরণটি মূলতঃ ইলেকট্রনের আচরণ ব্যাখ্যা করার উদ্দেশ্যে উদ্ভাবণ করা হয়, তাই এই নিবন্ধে ''ইলেকট্রন'' নিয়েই আলোচনা করা হবে। তবে সমীকরণটি স্পিন ১/২ কণিকা [[কোয়ার্ক]]'র বেলায়ও সমভাবে প্রযোজ্য হবে। যদিও [[প্রোটন]] এবং [[নিউট্রন]] মোলিক কণিকা নয়(এরা প্রত্যেকে একাধিক কোয়ার্কের সমন্বয়ে গঠিত) তবুও খানিকটা পরিবর্তিত ডিরাক সমীকরণ এদের আচরণও ব্যাখ্যা করতে পারে। ডিরাক সমীকরণের আরেকটি প্রকরণ হলো [[ম্যাজোরানা সমীকরণ]], যা [[নিউট্রিনো]]'র আচরণ ব্যাখ্যা করতে পারবে বলে আশা করা হয়।

* ''x'' এবং ''t'' হলো যথাক্রমে [[স্থান]] এবং [[কাল]] স্থানাংক; আর

* <math>\,\psi (\mathbf{x},t)</math> হলো চার-উপাদান বিশিষ্ট [[তরঙ্গ অপেক্ষক]] (সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের শর্তানুসারে তরঙ্গ অপেক্ষক'কে সাধারণ [[স্কেলার (গণিত)|স্কেলার]] রূপে নয়, বরং চার-উপাদানবিশিষ্ট [[স্পিনর]] হিসাবে প্রকাশ করতে হয়। উপাদানগুলির ভৌত তাৎপর্য নিচে বর্ণনা করা হয়েছে।)

 

<math>\,\alpha</math> গুলি হলো [[রৈখিক রূপান্তর|রৈখিক অপারেটার]], এরা তরঙ্গ অপেক্ষকের উপর ক্রিয়া করে। এদের সবচেয়ে মোলিক বৈশিষ্ট্যটি হলো, এদের অবশ্যই পরস্পরের সাথে '''প্রতিবিনিময়যোগ্য''' হতে হবে। অন্যভাবে বললে,

যেখানে <math>i\ne j</math>, এবং i ও j এর সম্ভাব্য মান ০ থেকে ৩ এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকবে। সবচেয়ে সহজ যে উপায়ে এই বৈশিষ্ট্যগুলি পাওয়া যাবে তা হলো: ৪ X ৪ [[ম্যাট্রিক্স (গণিত)|ম্যাট্রিক্স]]। এরচেয়ে ক্ষুদ্রতর মাত্রার ম্যাট্রিক্সের কোন সেট পাওয়া সম্ভব নয়, যা প্রতিবিনিময় শর্তটি মেনে চলে। আসলে চতুর্মাত্রার ম্যাট্রিক্সের প্রয়োজনীয়তার ভৌতিক তাৎপর্য রয়েছে।

 

 

:<math>\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, </math>

:<math>\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, </math>

 

 

ডিরাক সমীকরণটি একটি ''একক'' ইলেকট্রনের [[সম্ভাব্যতার বিস্তার]] ব্যাখ্যা করে। এটা একটা একক-কণা তত্ত্ব; অন্যকথায়, এতে কণাসমূহের সৃষ্টি ও ধ্বংস নিয়ে কিছু বলা হয় না। এটি ইলেকট্রনের [[চৌম্বক ভ্রামক|চৌম্বক ভ্রামকের]] উৎসের একটি ভালো ব্যাখ্যা দেয় এবং [[পারমাণবিক বর্ণালীরেখা]]'য় দৃষ্ট [[সূক্ষ্মতর গঠন|সূক্ষ্মতর গঠনের]]ও ব্যাখ্যা দেয়। এটি ইলেকট্রনের স্পিনকে ব্যাখ্যা করতে পারে। সমীকরণটির চারটি সমাধানের দুটি ইলেকট্রনের দুইটি স্পিন দশাকে ব্যাখ্যা করে। কিন্তু বাকি দুটি সমাধান একটু অদ্ভুতভাবে অসীমসংখ্যক কোয়ান্টাম দশার অস্তিত্ব সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করে যেখানে ইলেকট্রনের [[শক্তি]] হবে ঋণাত্মক। এই অদ্ভুৎ ফলাফলকে ব্যাখ্যা করতে ডিরাক ''"গহ্বর তত্ত্ব"'' নামের একটি অসাধারণ তত্ত্বের অবতারনা করেন, যার সূত্রধরে তিনি ''ধনাত্মক আধানযুক্ত ইলেকট্রনের'' অনুরূপ কণার অস্তিত্ব সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করেন। ডিরাক প্রথমে মনে করেছিলেন যে, এই কণাগুলো বোধ হয় [[প্রোটন]]। কিন্তু তাঁর তত্ত্বমতে কণাগুলোর আধানই কেবল ইলেকট্রনের সমান হবে তা নয়, এদের ভরও হতে হবে ইলেকট্রনের সমান। তাই [[১৯৩২]] সালে [[পজিট্রন]] আবিষ্কৃত হওয়ার পর যখন দেখা গেল যে, তাঁর প্রাথমিক অনুমানটি ভুল ছিল, বরং তাঁর তত্ত্বের ভবিষ্যদ্বাণী অক্ষরে অক্ষরে ফলে গেছে, তখন ডিরাক একটু লজ্জায় পড়ে গিয়েছিলেন। পরে তাঁকে যখন জিজ্ঞাসা করা হল যে, কেন তিনি অনাগত পজিট্রনকে সঠিক ভরসহ অনুমান করেননি, তিনি বললেন, ''"নির্ভেজাল কাপুরুষতা!"'' তবে সে যাই হোক, এতে করে ১৯৩৩ সালে তাঁর নোবেল পুরস্কার ভাগাভাগি করে নেয়াটা কিন্তু থেমে থাকেনি।

:<math> H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}, </math>

 

 

:<math>p_j \psi(\mathbf{x},t) \equiv - i \hbar \, \frac{\partial\psi}{\partial x_j} (\mathbf{x},t)</math>

 

 

:<math>E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.</math>

:<math> \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \; \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}. </math>

 

 

 

এখানে, ''I'' মানে [[অভেদ উপাদান]]। তাহলে মুক্ত ডিরাক সমীকরণ পাওয়া যাবে:

যেখানে {...} হলো [[প্রতিবিনিময়কারী]], যার সংজ্ঞা হচ্ছে, {''A,B''}''≡AB+BA'', এবং ''δ'' হলো [[ক্রনেকার ডেল্টা]], যার মান ১ হবে যদি উভয় পাদসূচকই সমান হয়, নতুবা এর মান হবে ০। [[ক্লিফোর্ড অ্যালজেবরা]] দেখুন।

 

 

শুরুতেই ডিরাক সমীকরণটি উপস্থাপন করা হয়েছিল, তবে একে আরো সংহতভাবে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়,