হিলবার্ট জগৎ: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

'''হিলবার্ট জগৎ''' ({{lang-de|Hilbertraum ''হিল্‌বেয়াট্‌রাউম্‌''}}) বা '''হিলবার্ট স্পেস''' ({{lang-en|Hilbert space ''হিল্‌বার্ট্‌ স্পেইস্‌''}}) একটি [[গণিত|গাণিতিক]] ধারণা, যার উদ্ভাবক [[জার্মানি|জার্মান]] [[গণিতবিদ]] [[ডাভিড হিলবের্ট]]। হিলবার্ট জগৎ হচ্ছে [[ইউক্লিডিয়ান জগৎ|ইউক্লিডীয় জগতের]] একটা গাণিতিক সাধারণীকরণ যেখানে জ্যামিতিক ধারণাগুলো [[দ্বিতীয় মাত্রা|দুই]] বা [[তৃতীয় মাত্রা|তিন মাত্রা]] থেকে [[অসীম মাত্রা|অসীম মাত্রায়]] উন্নীত করা হয়। গাণিতিকভাবে বললে হিলবার্ট জগৎ হচ্ছে একটা [[সম্পূর্ণ মেট্রিক্স জগৎ|সম্পূর্ণ]] [[অন্তঃগুণজ জগৎ]] অর্থাৎ যদি একটা ভেক্টরের [[ধারা (গণিত)|ধারা]] কোন একটা [[সীমা(গণিত)|সীমার]] দিকে অগ্রসর হতে থাকে তাহলে সেই সীমাও অবশ্যই এই ''জগতেই'' থাকবে।

 

 

হিলবার্ট জগতের তাত্ত্বিক আলোচনায় জ্যামিতিক ধারণাগুলি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। কার্তেসীয় তলের মত হিলবার্ট জগতেও প্রতিটি উপাদানকে একটি [[অভিলম্বিক ভিত্তি সেট|অভিলম্বিক ভিত্তি সেটের]] সাপেক্ষে অদ্বিতীয়ভাবে নির্ধারণ করা যায়। এই ভিত্তি সেটের আরেকটি বৈশিষ্ট্য হল এটি [[গণনযোগ্যভাবে অসীম]], যার ফলে এর উপাদানগুলিকে একটি [[বর্গসমষ্টিযোগ্য]] [[অসীম ধারা]] হিসেবে কল্পনা করা যায়। হিলবার্ট জগতের রৈখিক অপারেটরগুলিও যথেষ্ট সুসংহত গাণিতিক অপারেশন---বেশিরভাগ সময়ই এরা আসলে কিছু রূপান্তর প্রক্রিয়া যাদের ক্রিয়ায় জগতটি পারস্পরিক অভিলম্বিক একাধিক দিগাক্ষ বরাবর বিভিন্ন গুণিতক হারে প্রসারিত হয়।

 

সংক্ষেপে হিলবার্ট জগৎ হল একটি [[মেট্রিক্স জগৎ]] যেটা [[সম্পূর্ণ (গণিত)|সম্পূর্ণ]] <ref>[http://jcbmac.chem.brown.edu/baird/quantumpdf/Tan_on_Hilbert_Space.html NOTES ON HILBERT SPACE]</ref>।

 

: :<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle} . </math>

এ ধরনের অন্তঃগুণজ (যার সাহায্যে ভেক্টরের নর্ম সংজ্ঞায়িত হয়) থাকার কারণে হিলবার্ট জগতকে [[সম্পূর্ণ মেট্রিক জগৎ]] বলা হয়। যদি [[নর্ম]] দ্বারা সংজ্ঞায়িত এই [[মেট্রিক]] সম্পূর্ণ না হয়, তবে <math>H\,</math>-কে শুধু [[অন্তঃগুণজ জগৎ]] বলা হয়।

নিচে সসীম মাত্রিক হিলবার্ট জগতের কিছু উদাহরণ দেয়া হল:

# [[বাস্তব সংখ্যা|বাস্তব সংখ্যার]] ভেক্টর জগৎ <math>\mathbb{R}^n</math>, যেখানে <math>\langle u,v \rangle</math> হচ্ছে u এবং v এর ভেক্টর [[ডট গুনন]]। উল্লেখ্য এখানে u এবং v দুইটি n-মাত্রিক ভেক্টর। n = 3 হলে এই জগত আমাদের পরিচিত ইউক্লিডীয় জগতে পরিণত হয়।

# [[জটিল সংখ্যা|জটিল সংখ্যার]] ভেক্টর জগৎ <math>\mathbb{C}^n</math>, যেখানে <math>\langle u,v \rangle</math> হচ্ছে v এবং u এর জটিল অনুবন্ধীর মধ্যে [[ডট গুণন]]। উল্লেখ্য, এখানে u এবং v হচ্ছে দুইটি n-মাত্রিক ভেক্টর। এবং u-এর জটিল অনুবন্ধী হল এমন একটি ভেক্টর যার প্রতিটি i-তম উপাদান আনুষঙ্গিক u ভেক্টরের i-তম উপাদানের [[জটিল অনুবন্ধী]]।

 

: <math>\langle f,g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx </math>

 

সব হিলবার্ট জগতই [[বানাখ জগৎ]] কিন্তু সব বানাখ জগৎ হিলবার্ট জগৎ নয়।

 

 

[[আধুনিক গণিত|আধুনিক গণিতের]] একটা গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি হচ্ছে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির বিভিন্ন ধারণা অন্য অনেক [[গাণিতিক সমস্যা|সমস্যা]] সমাধানের কাজে ব্যবহার করা যায়। যেসব সমস্যা অনেকসময় এমনকি কোন ধরনের জ্যামিতি থেকেও উৎসারিত নয়, সেগুলিও। হিলবার্ট জগতের মৌলিক উপাদান হচ্ছে [[ভেক্টর|ভেক্টরের]] [[গাণিতিক বিমূর্তায়ন|বিমূর্ত ধারণা]]; যতক্ষণ এসব ভেক্টরে হিলবার্ট জগতের স্বীকার্যসমূহ মেনে চলে ততক্ষণ তাদের প্রকৃতি এখানে গুরুত্বপূর্ণ। যেমন হয়ত কোন এক ধরনের হিলবার্ট জগতের ভেক্টরসমূহ আসলে অনেকগুলি ফাংশনের একটা [[ধারা (গণিত)|ধারা]]। এখানে (হিলবার্ট জগতে) এসব বিমূর্ত ভেক্টরকে পরস্পর যোগ করা যায়। কোন একটা স্কেলার দিয়ে গুণ করা যায়। অথবা পরস্পরের সাথে [[ডট গুণন]] করা যায়। অর্থাৎ এই [[স্কেলার গুণন]], [[ডট গুণন]] এবং [[যোগ]] অপারেশন তিনটি তাদের জন্য সংজ্ঞায়িত। হিলবার্ট জগতের এইসব বীজগাণিতিক অপারেশনের কিছু পরিচিত বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এরা [[বিনিময় বিধি|বিনিমেয়]] এবং [[বন্টন বিধি|বন্টনযোগ্য]]। এছাড়াও [[সম্পূর্ণতা|সম্পূর্ণতার]] কারিগরি প্রয়োজনীয়োতা নিশ্চিত করে যে এই জগতে নির্দিষ্ট [[সীমা (গণিত)|সীমার]] অস্তিত্ব আছে। এই শেষ প্রয়োজনীয়তাটি [[সসীম মাত্রিক]] [[অন্তঃগুণজ জগতের]] জন্য এমনিতেই সবসময় সত্য হয়। কিন্তু অন্যান্য আরো অনেক [[গাণিতিক সাধারনীকরণ|সাধারণ]] ক্ষেত্রে (যেমন [[অসীম মাত্রিক]] , [[ফাংশনাল জগৎ]], ইত্যাদিতে) এটিকে একটা অতিরিক্ত স্বীকার্য হিসাবে ধরে নেওয়া হয়।

:'''''অনেক ধরনের [[ভৌত সিস্টেম|ভৌত]] এবং গাণিতিক অবস্থায়, একটা [[রৈখিক সমস্যা|রৈখিক সমস্যাকে]] নির্দিষ্ট হিলবার্ট জগতের সাহায্যে প্রকাশ করে কিছু সরল [[বিশ্লেষণী জ্যামিতি|জ্যামিতিক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ]] করা সম্ভব।'''''

 

 

হিলবার্ট জগতের তত্ত্বের এই সফলতার পিছনে যে আশ্চর্যজনক সত্যটি লুকিয়ে আছে তা হল:

 

[[অদ্বিতীয়তা মূলনীতি|অদ্বিতীয়তা মূলনীতির]] কারণে বিমূর্তভাবে বর্ণিত একটি উপপাদ্য যে কোন একটি হিলবার্ট জগতের ক্ষেত্রে সত্য হলে অন্য সকল হিলবার্ট জগতের জন্যও সত্য হয়।

 

 

 

{{reflist}}

 

 

* Analytic geometry - অন্তরক জ্যামিতি

* Vector space - ভেক্টর জগৎ

* Dot product - ডট গুণন

* Integral - যোগজ