ফুরিয়ে রূপান্তর: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
SantoshBot (আলোচনা | অবদান) অ r2.7.3) (বট যোগ করছে: am, ar, az, be-x-old, bg, ca, cs, da, de, eo, es, et, eu, fa, fi, fr, gl, he, hu, id, is, it, ja, kk, ko, lt, mn, mt, my, nl, nn, no, pl, pt, ro, ru, simple, sk, sq, su, sv, ta, th, tr, uk, vi, zh |
সম্পাদনা সারাংশ নেই |
||
৩ নং লাইন:
অধিকাংশ ক্ষেত্রে ফাংশনটি বাস্তব সংখ্যার হয় এবং তার ফুরিয়ে রূপান্তর করে একটি জটিল সংখ্যাবিশিষ্ট ফাংশন পাওয়া যায়। ফুরিয়ে রূপান্তরটি প্রকৃত ফাংশনের যেকোন একটি কম্পাঙ্ক উপাদানের বিস্তার ও দশা দুটোই প্রকাশ করতে পারে। ফুরিয়ে রূপান্তর দ্বারা অপারেশনটি এবং অপারেশনের পর পাওয়া নতুন জটিল ফাংশন দুটোকেই বোঝানো হয়।
ফাংশনটি যদি পর্যাবৃত্ত হয়, তাহলে ফুরিয়ে রূপান্তরকে সরলীকরণ করা যায়। এক্ষেত্রে ফাংশনটির কিছু জটিল বিস্তার পরিমাপ করলেই ফুরিয়ে রূপান্তর পাওয়া যায়। এই জটিল বিস্তারগুলোকে ফুরিয়ে ধারার সহগ (Fourier series coefficients) বলা হয়। কাল-ডোমেইন সংকেতকে সরাসরি ফুরিয়ে রূপান্তর করলে অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ে রূপান্তর পাওয়া যায়। কিন্তু কম্পিউটারের জায়গা বাচানোর জন্য সাধারণত কাল-ডোমেইন সংকেতকে একটি নির্দিষ্ট কাল অন্তর অন্তর স্যাম্পল করা হয়। স্যাম্পল করার পর ফাংশনটিকে ফুরিয়ে রূপান্তর করলেও আসল অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ে রূপান্তরের একটা সংস্করণ উদ্ধার করা সম্ভব। এটাকে বলা হয় [[কাল-বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ে রূপান্তর]] (Discrete-time Fourier transform)।
==সংজ্ঞা==
সমাকলনযোগ্য কোন ফাংশন, <math>f</math> এর ফুরিয়ে রূপান্তর, <math>\hat{f}</math> এর সংজ্ঞা অনেকভাবে দেয়া যায়, অনেকভাবে দেয়ার রীতিও রয়েছে। এই নিবন্ধে যে সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা হবে তা হলো:
:<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math>, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা ξ এর জন্য.
যেখানে স্বাধীন চলক ''x'' সময় বোঝায় যার একক সেকেন্ড, রূপান্তর চলক ξ কম্পাঙ্ক বোঝায় যার একক হার্জ। উপযুক্ত পরিস্থিতি থাকলে বিপরীত ফুরিয়ে রূপান্তরের মাধ্যমে মূল ফাংশনটিকে আবার এভাবে লেখা যায়:
:<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi, </math> প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা ''x'' এর জন্য
মূল ফাংশনকে তার ফুরিয়ে রূপান্তর থেকে যে পুনরুদ্ধার করা যায় এটাকে বলা হয় ফুরিয়ে প্রত্যাবর্তন উপপাদ্য। [[ইয়োসেফ ফুরিয়ে]] তার তাপীয় তত্ত্বের মাধ্যমে এই উপপাদ্য প্রথম প্রণয়ন করেছিলেন {{harv|Fourier|1822|p=525}}। অবশ্য আধুনিক দৃষ্টিকোণ থেকে এই উপপাদ্যের প্রকৃত প্রমাণ যাকে বলা যায় তা অনেক পরে এসেছে {{harv|Titchmarsh|1948|p=1}}। ƒ and ƒ̂, ফাংশন দুটিকে অনেক সময় ফুরিয়ে সমাকলন জোড় বা ফুরিয়ে রূপান্তর জোড় বলা হয়। ফুরিয়ে রূপান্তর প্রকাশের অন্যান্য নিয়ম আছে যা নিচে আলোচিত হবে। উল্লেখ্য ইউক্লিডীয় স্থানে ফুরিয়ে রূপান্তরের ক্ষেত্রে অনেক সময় ''x'' চলক দ্বারা অবস্থান এবং ξ চলক দ্বারা ভরবেগ বোঝানো হয়।
==তথ্যসূত্র==
*{{Citation |editor-last=Boashash|editor-first=B.|title=Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference|publisher=Elsevier Science|publication-place= Oxford|year=2003 |isbn=0-08-044335-4}}
*{{Citation | author =[[Salomon Bochner|Bochner S.]], [[K. S. Chandrasekharan|Chandrasekharan K.]] | title=Fourier Transforms | publisher= Princeton University Press | year=1949}}
* {{citation|first=R. N.|last=Bracewell|title=The Fourier Transform and Its Applications|edition=3rd|publication-place=Boston|publisher=McGraw-Hill|year=2000|isbn=0-07-116043-4}}.
* {{citation|first1=George|last1=Campbell|first2=Ronald|last2=Foster|title=Fourier Integrals for Practical Applications|publication-place=New York|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.|year=1948}}.
* {{citation|last=Duoandikoetxea|first=Javier|title=Fourier Analysis|publisher=American Mathematical Society|year=2001|isbn=0-8218-2172-5}}.
* {{citation|last1=Dym|first1=H|first2=H|last2=McKean|authorlink1=Harry Dym|title=Fourier Series and Integrals|publisher=Academic Press|year=1985|isbn=978-0-12-226451-1}}.
* {{citation|editor-last=Erdélyi|editor-first=Arthur|title=Tables of Integral Transforms|volume=1|publication-place=New Your|publisher=McGraw-Hill|year=1954}}
* {{citation|last=Fourier|first=J. B. Joseph|authorlink=Joseph_Fourier|title=Théorie Analytique de la Chaleur|publication-place=Paris|url=http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ&pg=PA525&dq=%22c%27est-%C3%A0-dire+qu%27on+a+l%27%C3%A9quation%22&hl=en&sa=X&ei=SrC7T9yKBorYiALVnc2oDg&sqi=2&ved=0CEAQ6AEwAg#v=onepage&q=%22c%27est-%C3%A0-dire%20qu%27on%20a%20l%27%C3%A9quation%22&f=false|publisher=Chez Firmin Didot, père et fils|year=1822}}
* {{citation|last1=Fourier|first1=J. B. Joseph |title=The Analytical Theory of Heat |url=http://books.google.com/books?id=-N8EAAAAYAAJ&pg=PA408&dq=%22that+is+to+say,+that+we+have+the+equation%22&hl=en&sa=X&ei=F667T-u5I4WeiALEwpHXDQ&ved=0CDgQ6AEwAA#v=onepage&q=%22that%20is%20to%20say%2C%20that%20we%20have%20the%20equation%22&f=false |first2=Alexander, translator |last2=Freeman |year=1878 |publisher=The University Press}}
* {{citation|first=Loukas|last=Grafakos|title=Classical and Modern Fourier Analysis|publisher=Prentice-Hall|year=2004|isbn=0-13-035399-X}}.
* {{Citation | last1=Hewitt | first1=Edwin | last2=Ross | first2=Kenneth A. | title=Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152 | mr=0262773 | year=1970}}.
* {{citation|first=L.|last=Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=Linear Partial Differential Operators, Volume 1|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=978-3-540-00662-6}}.
* {{citation|first = J.F.|last = James|title=A Student's Guide to Fourier Transforms|edition=3rd|publication-place=New York|publisher=Cambridge University Press|year=2011|isbn=978-0-521-17683-5}}.
* {{citation|first=Gerald|last=Kaiser|title=A Friendly Guide to Wavelets|year=1994|publisher=Birkhäuser|isbn=0-8176-3711-7 |url=http://books.google.com/books?id=rfRnrhJwoloC&pg=PA29&dq=%22becomes+the+Fourier+%28integral%29+transform%22&hl=en&sa=X&ei=osO7T7eFOqqliQK3goXoDQ&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22becomes%20the%20Fourier%20%28integral%29%20transform%22&f=false}}
* {{citation|first=David|last=Kammler|title=A First Course in Fourier Analysis|year=2000|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-578782-3}}
* {{citation|first=Yitzhak|last=Katznelson|title=An introduction to Harmonic Analysis|year=1976|publisher=Dover|isbn=0-486-63331-4}}
* {{Citation | last1=Knapp | first1=Anthony W. | title=Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples | url=http://books.google.com/?id=QCcW1h835pwC | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-09089-4 | year=2001}}
* {{citation|first=Mark|last=Pinsky|title=Introduction to Fourier Analysis and Wavelets|year=2002|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-37660-6 |url=http://books.google.com/books?id=tlLE4KUkk1gC&pg=PA256&dq=%22The+Fourier+transform+of+the+measure%22&hl=en&sa=X&ei=w8e7T43XJsiPiAKZztnRDQ&ved=0CEUQ6AEwAg#v=onepage&q=%22The%20Fourier%20transform%20of%20the%20measure%22&f=false}}
* {{citation|first1=A. D.|last1=Polyanin|first2=A. V.|last2=Manzhirov|title=Handbook of Integral Equations|publisher=CRC Press|publication-place=Boca Raton|year=1998|isbn=0-8493-2876-4}}.
* {{citation|first=Walter|last=Rudin|title=Real and Complex Analysis|publisher=McGraw Hill| edition=Third|year=1987|isbn=0-07-100276-6|location=Singapore }}.
*{{citation |first=Matiur |last=Rahman |url=http://books.google.com/books?id=k_rdcKaUdr4C&pg=PA10 |isbn=1845645642 |publisher=WIT Press |title=Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions |year=2011}}.
* {{citation |last1=Stein|first1=Elias|first2=Rami|last2=Shakarchi|title=Fourier Analysis: An introduction|publisher=Princeton University Press|year=2003|isbn=0-691-11384-X|url=http://books.google.com/books?id=FAOc24bTfGkC&pg=PA158&dq=%22The+mathematical+thrust+of+the+principle%22&hl=en&sa=X&ei=Esa7T5PZIsqriQKluNjPDQ&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22The%20mathematical%20thrust%20of%20the%20principle%22&f=false}}.
* {{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J. |url=http://books.google.com/books?id=YUCV678MNAIC&dq=editions:xbArf-TFDSEC&source=gbs_navlinks_s}}.
* {{citation|last=Taneja|first=HC |title=Advanced Engineering Mathematics:, Volume 2 |url=http://books.google.com/books?id=X-RFRHxMzvYC&pg=PA192&dq=%22The+Fourier+integral+can+be+regarded+as+an+extension+of+the+concept+of+Fourier+series%22&hl=en&sa=X&ei=D4rDT_vdCueQiAKF6PWeCA&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22The%20Fourier%20integral%20can%20be%20regarded%20as%20an%20extension%20of%20the%20concept%20of%20Fourier%20series%22&f=false |chapter=Chapter 18: Fourier integrals and Fourier transforms |isbn=8189866567|year=2008 |publisher=I. K. International Pvt Ltd |publication-place=New Delhi, India}}.
* {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=Introduction to the theory of Fourier integrals|isbn=978-0-8284-0324-5|year=1948|edition=2nd|publication-date=1986|publisher=Clarendon Press|publication-place=Oxford University}}.
* {{citation|first=R. G.|last=Wilson|title=Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics|publisher=Wiley|year=1995|isbn=0-471-30357-7|location=New York}}.
* {{citation|first=K.|last=Yosida|authorlink=Kōsaku Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1968|isbn=3-540-58654-7}}.
[[বিষয়শ্রেণী:ফুরিয়ে বিশ্লেষণ]]
| |||