গোল্ডবাখ অনুমান

গোল্ডবাখ অনুমান সংখ্যা তত্ত্বের অন্যতম প্রাচীন ও অমীমাংসিত একটি সমস্যা। একে এভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, ২ এর চেয়ে বড় সকল জোড় পূর্ণ সংখ্যাকে দুইটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়। যেমন,৪=২+২,৬=৩+৩। গোল্ডবাখ অনুমান এখন পর্যন্ত কেও ভুল বা সত্য প্রমাণ করতে পারেনি।.^[১]

যৌক্তিক চিহ্ন ব্যবহার করে গোল্ডবাখের অনুমান এভাবে লেখা যায়-

$\forall n\in \mathbb {N} ,\left(\left(n\geq 4\right)\wedge \left(n\,\mathrm {even} \right)\right)\Rightarrow \left(\exists p,q\in \mathbb {P} ,n=p+q\right)$ ^[২]

গোল্ডবাখ সংখ্যা

যে সব সংখ্যাকে দুটি বেজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় তাদের গোল্ডবাখ সংখ্যা বলে। কাজে গোল্ডবাখের অনুমানকে এভাবেও বিবৃত করা যায় "২ এর থেকে বড় সকল জোড় পূর্ণ সংখ্যাই গোল্ডবাখ সংখ্যা।" কোনো জোড় সংখ্যাকে ২টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল দ্বারা প্রকাশ করলে সেটাকে বলা হয় সংখ্যাটির গোল্ডবাখ বিভাজক (ইংরেজিতে Goldbach partition)।যেমনঃ ৪=২+২ ১০=৩+৭ বা ৫+৫

২*ক কে যত সংখ্যক উপায়ে ২টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যায় সেটা নিচে দেখানো হলো-

০,১,১,১,২,১,২,২,২,২,৩,৩,৩,২,৩,২,৪,৪,২,৩........^[৩] (ক এর মান ১ থেকে শুরু)

উৎপত্তি

১৭৪২ সালের ৭ জুন জার্মান গণিতবিদ গোল্ডবাখ তার বন্ধু গণিতবিদ লেওনার্ড ইউলারকে চিঠি লিখেন যেখানে তিনি বলেন

যেকোন সংখ্যাকে দুইটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়, যতগুলো ইচ্ছা মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবেও লেখা যায় যতক্ষন সবগুলো যতক্ষননা সবগুলো সংখ্যা ১ হয়।

পরে তিনি ২য় আরেকটি অনুমান প্রস্তাবনা করেন চিঠির মার্জিনের পাশেঃ

দুই এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় পূর্ণ সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।

গোল্ডবাখ ১ কে মৌলিক সংখ্যা হিসাবে ধরেছিলেন যেটা এখন আর গণিতে ধরা হয়না। দুটি অনুমানকেই এখন একই ধরা হয়। মার্জিনের পাশের অনুমানের আধুনিক সংস্করণ হলো

পাচঁ এর চেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।

ইউলার ১৭৪২ সালের ৩০জুন চিঠির উত্তর দেন এবং গোল্ডবাখকে পূর্বে তাদের মধ্যকার কথোপকথনকে মনে করিয়ে দেন যখন গোল্ডবাখ তার প্রথম অনুমানের কথা বলেছিলেন।

দুই এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় পূর্ণ সংখ্যাকে দুইটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।

ইউলার তার চিঠিতে বলেনঃ

দুই এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় পূর্ণ সংখ্যাকে দুইটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়। আমি এটাকে একটি উপপাদ্য মনে করি যদিও আমি এটা প্রমাণ করতে পারিনি।^[৪]^[৫]

আরেকটি অনুমান

হার্ডি এবং লিটলউড অনুমান করেন

৫ এর থেকে বড় যেকোনো সংখ্যা, একটি মৌলিক সংখ্যা এবং আরেকটি মৌলিক সংখ্যার দ্বিগুণের যোগফলের সমান।^[৬]

নির্ভুলতা যাচাই

ছোট সংখ্যার জন্য সরাসরি গোল্ডবাখের অনুমান পরীক্ষা করা যায়। নিলস পিপিন ১৯৩৮ সালে ১০০০০০ পর্যন্ত সংখ্যার জন্য অনুমানের সত্যতা যাচাই করেন^[৭]। অলিভিয়েরা ই সিলভা কম্পিউটারের সাহায্যে ১.৬০৯ × ১০^১৮ পর্যন্ত সংখ্যার জন্য সঠিকতা যাচাই করেছেন। ^[৮]

তথ্যসূত্র

↑ ওয়ালফ্রাম,
↑ http://cseweb.ucsd.edu/~gill/BWLectSite/Resources/C1U2Lo.pdf
↑ http://oeis.org/A045917,
↑ শেষোক্ত অনুমানটিকে গোল্ডবাখের শক্তিশালী অনুমান বলা হয়। দুর্বল অনুমানটি হলো
সাত এর চেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।
শক্তিশালী অনুমানটি প্রমাণ করা সম্ভব হলে দুর্বলটি প্রমাণ হয়ে যাবে। (কারণ হল, যদি ৪ এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়, তাহলে সংখ্যাটির সাথে ৩(মৌলিক)) যোগ করে আমরা বলতে পারি, ৭ এর চেয়ে বড় যেকোন বিজোড় সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।) Ingham, AE। "Popular Lectures" (পিডিএফ)। ২০০৩-০৬-১৬ তারিখে মূল (PDF) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৯-০৯-২৩।
↑ Caldwell, Chris (২০০৮)। "Goldbach's conjecture"। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৮-১৩।
↑ Mathematics Magazine, 66.1 (1993): 45-47
↑ Pipping, Nils (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradovsche Satz." Acta. Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.
↑ Tomás Oliveira e Silva, [১]. Retrieved 25 April 2008.

বহিঃসংযোগ

[২]

[১-1] ওয়ালফ্রাম,

[2] ttp://cseweb.ucsd.edu/~gill/BWLectSite/Resources/C1U2Lo.pdf

[২-3] ttp://oeis.org/A045917,

[theorema-4] শেষোক্ত অনুমানটিকে গোল্ডবাখের শক্তিশালী অনুমান বলা হয়। দুর্বল অনুমানটি হলো
সাত এর চেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।
শক্তিশালী অনুমানটি প্রমাণ করা সম্ভব হলে দুর্বলটি প্রমাণ হয়ে যাবে। (কারণ হল, যদি ৪ এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়, তাহলে সংখ্যাটির সাথে ৩(মৌলিক)) যোগ করে আমরা বলতে পারি, ৭ এর চেয়ে বড় যেকোন বিজোড় সংখ্যাকে ৩টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়।) Ingham, AE। "Popular Lectures" (পিডিএফ)। ২০০৩-০৬-১৬ তারিখে মূল (PDF) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৯-০৯-২৩।

[PrimeGlossary-5] Caldwell, Chris (২০০৮)। "Goldbach's conjecture"। সংগ্রহের তারিখ ২০০৮-০৮-১৩।

[6] Mathematics Magazine, 66.1 (1993): 45-47

[7] Pipping, Nils (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradovsche Satz." Acta. Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.

[8] Tomás Oliveira e Silva, [১]. Retrieved 25 April 2008.

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]