জ্যাকবি প্রতীক

গণিতজ্ঞরা সংখ্যাতত্ত্বে জ্যাকবি প্রতীক ব্যবহার করে থাকেন। জার্মান গণিতবিদ কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকবির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে।

গণিতজ্ঞরা সংখ্যাতত্ত্বে জ্যাকবি প্রতীক ব্যবহার করে থাকেন। জার্মান গণিতবিদ কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকবির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে।

সংজ্ঞাঃ

ধরা যাক, n>0 একটি বিজোড় সংখ্যা এবং $p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$ হল n এর মৌলিক উৎপাদক রূপ। তাহলে যেকোন পূর্ণ সংখ্যা a এর জন্য জ্যাকবি প্রতীককে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়,

$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}$

জ্যাকবি প্রতীকের বৈশিষ্ট্য

1. n যদি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে জ্যাকবি প্রতীক, লিজেন্ড্রি প্রতীক এ পরিণত হয়।

1. $\left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}$
2. $\left({\frac {a}{n}}\right)=0$ যদি $\gcd(a,n)\neq 1$
3. $\left({\frac {ab}{n}}\right)={\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}\left({\frac {b}{n}}\right)$
4. যদি a ≡ b (mod n) হয়, তাহলে ${\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {b}{n}}\right)$
5. $\left({\frac {1}{n}}\right)=1$
6. $\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{(n-1)/2}$ = 1 if n ≡ 1 (mod 4), এবং −1 if n ≡ 3 (mod 4)
7. $\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}$ = 1 if n ≡ 1 or 7 (mod 8), এবং −1 যদি n ≡ 3 or 5 (mod 8)
8. $\left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{(m-1)(n-1)/4}$